![](https://i0.wp.com/pwmu.co/wp-content/uploads/2020/09/tile-blocks-with-math-symbols_165073-339.jpg?resize=626%2C357&ssl=1)
Negatif x Negatif = Positif, Begini Model Ilustrasi Operasi Bilangan Bulat. Oleh Ria Pusvita Sari, guru di SD Muhammadiyah Manyar (SDMM) Gresik.
PWMU.CO – Hai sahabat matematika, kalian tentu sudah mengenal bilangan bulat. Penting bagi sahabat matematika untuk tahu bagaimana model ilustrasi dari penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan bulat. Simak, ya!
Bilangan cacah 0, 1, 2, 3, 4, … bersama dengan bilangan cacah negatif -1, -2, -3, -4, . . . disebut bilangan bulat. Garis bilangan berikut menggambarkan bilangan bulat.
![Model Ilustrasi Operasi Hitung Bilangan Bulat](https://i0.wp.com/pwmu.co/wp-content/uploads/2020/09/Picture1.jpg?resize=398%2C163&ssl=1)
Untuk setiap bilangan bulat di sebelah kanan 0, ada bilangan bulat yang bersesuaian di sebelah kiri 0. Pasangan bilangan bulat ini adalah 2 dan -2, 5 dan -5 atau 7 dan -7; dan seterusnya disebut lawan atau negatif dari yang lain.
Terkadang, bilangan bulat di samping kanan 0 dituliskan +1, +2, +3, dan seterusnya untuk menekankan bahwa mereka adalah bilangan bulat positif sebagai lawan dari bilangan bulat negatif (–1, –2, –3, dan seterusnya).
Sejak tanda minus digunakan untuk menunjukkan pengurangan, perkembangan tanda minus untuk mengindikasikan bilangan negatif, membantu untuk menghindari kebingungan antara dua penggunaan dari simbol ini.
Secara khusus, tanda minus untuk mengindikasi bilangan bulat negatif adalah penerapan umum dalam buku matematika pada sekolah dasar dan sekolah menengah. Contoh: Tentukan lawan dari setiap bilangan bulat:
- 14 2. 0 3. 1 4. -8
Jawab: 1. -14 2. 0 3. -1 4. 8
Penggunaan Bilangan Bulat
Konsep lawan bilangan dalam bentuk bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif, juga disebut sebagai bilangan positif dan bilangan negatif, berguna setiap kali kita ingin menghitung kedua sisi dari titik acuan. Bilangan bulat positif menunjukkan satu arah dan bilangan bulat negatif menunjukkan arah yang berbeda.
Penggunaan bilangan bulat antara lain: Pertama, kredit dan utang. Satu contoh umum adalah kredit yang direpresentasikan dengan bilangan bulat positif dan utang atau defisit yang direpresentasikan dengan bilangan bulat negatif.
Grafik pada gambar 2 menunjukkan neraca perdagangan US dengan Turki yaitu perbedaan antara ekspor dan impor.
Tanda negatif menunjukkan kelebihan impor atas ekspor dari Turki ke US. Sebagai contoh, pada tahun 2002, neraca perdagangan menunjukkan kurang lebih 400 juta dollar. Ini artinya, kelebihan impor ke US dari Turki atas ekspor US ke Turki sebesar 400 juta dollar.
![Model Ilustrasi Operasi Hitung Bilangan Bulat](https://i0.wp.com/pwmu.co/wp-content/uploads/2020/09/Picture2.jpg?resize=451%2C250&ssl=1)
Kedua, suhu. Titik beku air pada termometer celcius adalah 00. Pada skala Fahrenheit, titik bekunya 320. Pada kedua skala, suhu di atas 00 adalah positif dan di bawah 00 adalah negatif.
Ketiga, olahraga. Beberapa olahraga cocok menggunakan bilangan positif dan negatif untuk menunjukkan jumlah dari titik acuan yang diberikan. Dalam golf, titik acuannya adalah par dan skor -4 menunjukkan 4 pukulan di bawah par. Dalam sepak bola, garis lapangan di mana permainan dimulai adalah titik acuannya dan kehilangan yardage kembali ke negatif yardage.
Keempat, waktu. Para ilmuwan sering menemukan kecocokan untuk menetapkan waktu yang diberikan sebagai waktu nol dan berdasarkan waktu sebelum dan waktu sesudah menjadi negatif dan positif, berturut-turut. Praktik ini diikuti peluncuran roket. -15 menit artinya 15 menit sebelum meluncur.
Kelima, ketinggian. Permukaan laut adalah referensi yang umum untuk mengukur ketinggian. Bagan dan peta dengan label ketinggian di bawah dan di atas permukaan laut menggunakan bilangan negatif dan positif. Bagan dalam gambar 3 menggunakan bilangan negatif untuk menunjukkan ketinggian di atas dasar Samudera Atlantik antara Amerika Selatan dan Afrika.
![Model Ilustrasi Operasi Hitung Bilangan Bulat](https://i0.wp.com/pwmu.co/wp-content/uploads/2020/09/Picture3.jpg?resize=489%2C121&ssl=1)
Ada banyak model untuk mengilustrasikan bilangan bulat dan operasi bilangan bulat, yaitu garis bilangan dan black and red chips. Black chips menunjukkan bilangan bulat positif dan red chips menunjukkan bilangan bulat negatif. Jika 1 black chip bersama dengan 1 red chip menunjukkan 0. Tiga himpunan berbeda yang mengilustrasikan bilangan 3 ditunjukkan dalam gambar 4. Di bagian (b) sebuah red chip dihilangkan oleh 1 black chip dan di bagian (c) 2 red chips dihilangkan oleh 2 black chips.
![Model Ilustrasi Operasi Hitung Bilangan Bulat](https://i0.wp.com/pwmu.co/wp-content/uploads/2020/09/Picture4.jpg?resize=325%2C112&ssl=1)
Penjumlahan Bilangan Bulat
Penjumlahan bilangan bulat dapat diilustrasikan dengan meletakkan bersama-sama himpunan black chips dan red chips. Gambar 5 menunjukkan himpunan untuk -5 dan 2 serta gabungan dari mereka, yang berisikan 5 red chips dan 2 black chips. Himpunan hasil menunjukkan -3, ketika 2 black chips dapat dipasangkan dengan 2 red chips. Ini menunjukkan bahwa -5 + 2 = -3.
![Model Ilustrasi Operasi Hitung Bilangan Bulat](https://i0.wp.com/pwmu.co/wp-content/uploads/2020/09/Picture5.jpg?resize=408%2C113&ssl=1)
Penggunaan aturan untuk penjumlahan dapat ditelusuri dengan menggunakan black dan red chips untuk menghitung jumlah bilangan bulat positif dan negatif. Sebagai contoh, ketika bilangan bulat positif dan negatif ditambahkan, penjumlahannya akan menjadi positif atau negatif tergantung pada mana yang lebih banyak, black chips atau red chips-nya.
Aturan yang berlaku pada penjumlahan ditunjukkan pada aturan di bawah ini. Untuk ketiga kasus, a dan b merepresentasikan bilangan bulat positif. Untuk setiap kasus ini, jumlah yang melibatkan bilangan bulat negatif dapat diperoleh dengan menghitung jumlah atau selisih bilangan bulat positif.
Garis bilangan adalah model yang lebih abstrak untuk mengilustrasikan penjumlahan bilangan positif dan negatif. Untuk menjumlahkan dua bilangan, kita mulai dengan menggambar panah dari 0 ke titik yang sesuai dengan bilangan pertama.
Kemudian, jika bilangan bulat yang kedua adalah positif, kita berpindah dari titik tersebut ke sebelah kanan garis bilangan. Dan jika negatif, kita berpindah ke kiri. Dua contoh ditunjukkan pada gambar 6.
![Model Ilustrasi Operasi Hitung Bilangan Bulat](https://i0.wp.com/pwmu.co/wp-content/uploads/2020/09/Picture6.jpg?resize=552%2C106&ssl=1)
Pengurangan Bilangan Bulat
Model take away dapat digunakan untuk pengurangan bilangan bulat. Pada bagian (a) gambar 7 kita mulai dengan merepresentasikan -6 dengan 6 red chips dan mengambil 2 red chips. Pada bagian (b) gambar 7 kita mulai dengan merepresentasikan -6 dengan 8 red chips dan 2 black chips, kemudian mengambil 2 black chips.
![Model Ilustrasi Operasi Hitung Bilangan Bulat](https://i0.wp.com/pwmu.co/wp-content/uploads/2020/09/Picture7.jpg?resize=464%2C170&ssl=1)
Di awal kelas, model take away untuk pengurangan hanya digunakan ketika sebuah bilangan cacah mengurangi bilangan lain yang lebih besar. Namun demikian, masih memungkinkan menggunakan model ini dalam kasus seperti 3 – 5, di mana bilangan yang mengurangi lebih besar.
Sebagai contoh, selain merepresentasikan 3 dengan 3 black chips, sebagaimana dalam himpunan A pada gambar 8, kita dapat merepresentasikan 3 dengan 5 black chips dan 2 red chips, sebagaimana dalam himpunan B. Kemudian 5 black chips dapat diambil, tinggal 2 red chips: 3 – 5 = -2.
![Model Ilustrasi Operasi Hitung Bilangan Bulat](https://i0.wp.com/pwmu.co/wp-content/uploads/2020/09/picture8.jpg?resize=404%2C168&ssl=1)
Menambahkan Lawan
Satu metode umum pengurangan bilangan bulat adalah menjumlahkan lawannya. Selain mengganti 5 black chips dari set B pada gambar 8, kita meletakkan 5 red chips sebagaimana pada gambar 9, himpunan terakhir masih menunjukkan -2. Dengan kata lain, meletakkan 5 red chips sama dengan mengambil 5 black chips. Ini berarti bahwa mengurangi 5 sama dengan menambah lawannya, yaitu -5.
![Model Ilustrasi Operasi Hitung Bilangan Bulat](https://i0.wp.com/pwmu.co/wp-content/uploads/2020/09/picture9.jpg?resize=396%2C120&ssl=1)
Pendekatan ini untuk pengurangan disebut menambahkan lawan. Ini berguna bagi kita untuk menghitung selisih dua bilangan bulat dengan menghitung jumlah, seperti definisi berikut: Untuk setiap dua bilangan bulat a dan b, a – b adalah jumlah a tambah lawan dari b. Maka a – b = a + -b
Perkalian Bilangan Bulat
Aturan umum untuk mengalikan dengan bilangan negatif, seperti “negatif kali negatif adalah positif”, cukup mudah untuk diingat tetapi sulit untuk diilustrasikan. Ada banyak pendekatan berbeda untuk menetapkan aturan perkalian dengan bilangan negatif secara intuitif.
Perkalian bilangan bulat positif dan negatif dapat diilustrasikan pada garis bilangan. Sebuah garis bilangan yang menggunakan suhu. Gambar 10 menunjukkan skala termometer. Untuk mengilustrasikan perkalian, kita akan menggunakan kesepakatan berikut:
- Suhu naik merepresentasikan bilangan bulat positif dan suhu turun untuk bilangan bulat negatif.
- Waktu mendatang merepresentasikan bilangan bulat positif dan waktu yang lalu untuk bilangan bulat negatif.
![Model Ilustrasi Operasi Hitung Bilangan Bulat](https://i0.wp.com/pwmu.co/wp-content/uploads/2020/09/Picture10.jpg?resize=68%2C281&ssl=1)
Contoh:
- Jika suhu saat ini nol derajat, akan menajdi berapa suhunya 4 jam kemudian jika bertambah 3 derajat tiap jamnya?
![Model Ilustrasi Operasi Hitung Bilangan Bulat](https://i0.wp.com/pwmu.co/wp-content/uploads/2020/09/contoh-1-baru.jpg?resize=406%2C376&ssl=1)
2. Jika suhu saat ini nol derajat, akan menjadi berapa suhunya 5 jam kemudian jika mengalami penurunan 2 derajat tiap jamnya?
![Model Ilustrasi Operasi Hitung Bilangan Bulat](https://i0.wp.com/pwmu.co/wp-content/uploads/2020/09/contoh-2.jpg?resize=415%2C409&ssl=1)
3. Jika suhu saat ini nol derajat, berapa suhu tiga jam lalu jika telah terjadi kenaikan 5 derajat tiap jamnya?
![Model Ilustrasi Operasi Hitung Bilangan Bulat](https://i0.wp.com/pwmu.co/wp-content/uploads/2020/09/contoh-3.jpg?resize=424%2C397&ssl=1)
4. Jika suhu saat ini nol derajat, berapa suhu 4 jam yang lalu, jika telah mengalami penurunan 2 derajat tiap jamnya?
![Model Ilustrasi Operasi Hitung Bilangan Bulat](https://i0.wp.com/pwmu.co/wp-content/uploads/2020/09/contoh-4.jpg?resize=407%2C379&ssl=1)
Perkalian Bilangan Bulat Model Black dan Red Chips
Perkalian dengan bilangan bulat positif dapat diilustrasikan meletakkan kelompok chips (penjumlahan berulang). Misalkan pada 4 kesempatan, Anda utang $2. Ini direpresentasikan pada gambar 11 dengan 4 kelompok 2 red chips; Gambar mengilustrasikan 4 x -2. Karena ada 8 red chips, maka 4 x -2 = -8.
![Model Ilustrasi Operasi Hitung Bilangan Bulat](https://i0.wp.com/pwmu.co/wp-content/uploads/2020/09/Picture11.jpg?resize=360%2C191&ssl=1)
Perkalian dengan bilangan bulat negatif dapat diilustrasikan dengan menghapus kelompok chips. Pertama, misalkan kamu mempunyai 3. Ini direpresentasikan pada gambar 12 dengan 6 black chips dan 2 kelompok 3 red chips dan hasil seluruhnya adalah 0.
Sekarang misalkan 2 utang dihilangkan. Menghilangkan 2 kelompok 3 red chips mengilustrasikan perkalian -2 x -3. Tekankan bahwa menghilangkan 6 red chips mengubah nilai himpunan dari 0 menjadi 6. Ini menunjukkan bahwa -2 x -3 = 6, karena 2 kali kita mengeluarkan 3 red chips.
![Model Ilustrasi Operasi Hitung Bilangan Bulat](https://i0.wp.com/pwmu.co/wp-content/uploads/2020/09/picture12.jpg?resize=504%2C198&ssl=1)
Model black and red chips dan model garis bilangan mengilustrasikan dasar aturan perkalian dengan bilangan bulat negatif yang ditunjukkan pada keterangan di bawah ini. Aturan ini menekankan bahwa perkalian yang melibatkan bilangan bulat negatif dapat diperoleh dengan menghitung hasil kali bilangan bulat positif.
Aturan Perkalian. Misalkan a dan b bilangan bulat positif:
- Positif kali negatif sama dengan negatif.
a x –b = – (a x b)
2. Negatif kali positif sama dengan negatif.
-a x b = – (a x b)
3. Negatif kali negatif sama dengan positif.
-a x –b = a x b
Pembagian Bilangan Bulat
Konsep sharing (partitive) dan konsep measurement (subtractive) pada pembagian akan digunakan dalam ilustrasi pembagian berikut dengan model black and red chips. Untuk menunjukkan -8 : -2, kita mulai dengan 8 red chips kemudian mengurangi berapa banyak kelompok yang terdiri dari 2 red chips yang mungkin (lihat gambar 13). Karena ada 4 kelompok, maka -8 : -2 = 4. Ilustrasi ini menggunakan konsep pengukuran pada pembagian.
![Model Ilustrasi Operasi Hitung Bilangan Bulat](https://i0.wp.com/pwmu.co/wp-content/uploads/2020/09/Picture13.jpg?resize=472%2C193&ssl=1)
Untuk menunjukkan -6 : 3, kita membagi 6 red chips menjadi 3 kelompok yang sama. (lihat gambar 14). Karena ada 2 red chips pada tiap-tiap kelompok, maka -6 : 3 = -2. Pada ilustrasi ini, pembagi 3 menunjukkan banyaknya bagian yang sama dari himpunan yang dibagi. Ilustrasi ini menggunakan konsep berbagi pada pembagian.
![Model Ilustrasi Operasi Hitung Bilangan Bulat](https://i0.wp.com/pwmu.co/wp-content/uploads/2020/09/picture14.jpg?resize=408%2C120&ssl=1)
Dari dua contoh tersebut, kita ditunjukkan bagaiman dua konsep berbeda terasa bermakna untuk pembagian yang melibatkan bilangan bulat negatif dan positif. Dalam definisi pembagian bilangan bulat berikut, pembagian didefinisikan dalam bentuk perkalian, hanya untuk bilangan cacah.
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, dengan b ≠ 0, a : b = k jika dan hanya jika a = b x k, untuk bilangan bulat k. Dalam kasus ini, b dan k adalah faktor a.
Model black and red chips dan hubungan terbalik antara perkalian dan pembagian bilngan bulat, mengilustrasikan dasar aturan untuk membagi dengan bilangan bulat negatif yang ditunjukkan pernyataan berikut. Tekankan bahwa hasil bagi yang melibatkan bilangan bulat negatif dapat diperoleh dengan menghitung hasil bagi bilangan bulat positif.
Aturan Pembagian. Misalkan a dan b bilangan bulat positif:
- Negatif bagi negatif sama dengan positif.
-a : -b = a : b
2. Negatif bagi positif sama dengan negatif.
-a : b = – (a : b)
3. Positif bagi negatif sama dengan negatif.
a : -b = – (a : b)
Konsep tersebut dijelaskan dalam buku Mathematics for Elementary Teachers: A Conceptual Approach karya Albert B Bennett Jr, Laurie J Burton, dan L Ted Nelson.
Semoga bermanfaat! (*)
Negatif x Negatif = Positif, Begini Model Ilustrasi Operasi Bilangan Bulat. Editor Mohammad Nurfatoni.